Magyar Tudomány, 2001/8

Viták-vélemények

Kiegészítés Filep László tanulmányához

Lázár Dezső és a kongruens körök négyzetben való legsűrűbb pakolásának problémája


A Magyar Tudomány 2001/5. számában jelent meg Filep Lászlónak a Magyar matematika Erdélyben a két világháború között című dolgozata. A cikkben szó volt Lázár Dezső (1913-1943) magyar matematikusnak egy diszkrét geometriai problémafelvetéséről is. Idézet a dolgozatból:

"Fontos eredményt ért el Lázár Dezső egy diszkrét geometriai problémával kapcsolatban, amelyet Fejes Tóth Lászlónak vetett fel még egyetemista korukban: Hogyan kell nagyszámú pontot egy négyzetben úgy elhelyezni, hogy a köztük fellépő minimális távolság maximális legyen?... A két fiatal matematikus nem tudta, hogy analóg problémát már Bolyai Farkas is felvetett, amelyet A. Thue norvég matematikus megoldott a múlt század végén. A problémát Thue-tól függetlenül Fejes Tóth László is megoldotta, és ahogy írja az idézett helyen: "a sikerélmény hatása vezetett a fedések és az elhelyezkedések vizsgálatára", vagyis a magyar diszkrét geometriai iskola kialakulására."

A cikkben említett könyv az irodalomjegyzékünkben szereplő [9]. A fentiekben foglaltakhoz szeretnénk néhány megjegyzést tenni. A Lázár Dezső által felvetett probléma ekvivalens a négyzet adott számú kongruens körrel való legsűrűbb kitöltésének problémájával.

Bolyai Farkas az 1832-33-ban megjelent - a hosszú címe miatt röviden csak Tentamen-nek hívott - munkájában [1] valóban vizsgált egy körpakolási problémát szabályos háromszögben. Könyvében azonban nem mondja, hogy ő a legsűrűbb körpakolást keresné, csupán egy konkrét elhelyezés esetén a körök által le nem fedett területet, illetve annak határértékét vizsgálja egy körpakolás-sorozatra. Meg kell jegyeznünk, hogy az általa tanulmányozott pakolássorozat nem optimális (lásd pl. [10]).

A Lázár által kitűzött feladat nagyszámú, de véges sok pontra lett kimondva. A Fejes Tóth László által 1940-ben közölt megoldás [3] egy aszimptotikus értéket ad a pontok közötti minimális távolság maximumára, de az nem a valódi megoldása a feladatnak, arra csak egy közelítés (hasonlóan ilyen Thue [11] eredménye is [2]). A fenti probléma igazolt megoldása a 2-27 [5,8] és 36 [4] pontszámra ismert. Vannak magasabb értékekre is ún. jó pakolások [6], de annak megválaszolása, hogy azok az elhelyezések optimálisak vagy sem, még nyitott probléma.

A fenti pontosításokkal együtt viszont örülhetünk, hogy Lázár Dezső problémafelvetése felmerült, mivel a nemzetközi matematikai irodalom erről nemigen tud, így a problémát Leo Mosernek egy 1960-ban a Canadian Mathematical Bulletinben megjelent dolgozatától [7] eredezteti.

Szabó Péter Gábor - Csendes Tibor

HIVATKOZÁSOK:

[1] Bolyai Farkas, Tentamen Juventutem Studiosam in Elementa Matheseos Purae, Elementaris Ac Sublimioris, Methodo Intuitiva, Evidentiaque Huic Propria Introducendi, 2. kiadás, 2. kötet, 119-122, 1904., illetve a hozzá tartozó ábrakötet 31. ábrája.
[2] Erdős Pál és Fejes Tóth László, Pontok elhelyezése egy tartományban, Magyar Tud. Akad. Mat. és Fiz. Oszt. Közleményei, 6:185-190, 1956.
[3] Fejes Tóth, Über einen geometrischen Satz, Mathematische Zeitschrift 46:83-85, 1940.
[4] K. Kirchner and G. Wengerodt, Die dichteste Packung von 36 Kreisen in einem Quadrat, Beiträge zur Algebra und Geometrie 25:147-159, 1987.
[5] K. J. Nurmela and P. R. J. Östergärd, More optimal packings of equal circles in a square, Discrete & Computational Geometry 22:439-457, 1999.
[6] K. J. Nurmela and P. R. J. Östergärd, Packing up to 50 equal circles in a square, Discrete & Computational Geometry 18:111-120, 1997.
[7] Leo Moser, Problem 24, Canadian Mathematical Bulletin 3:78, 1960.
[8] R. Peikert, D. Würtz, M. Monagan and C. Groot, Packing circles in a square: A review and new results, In P. Kall (ed.), System Modelling and Optimization, volume 180 of Lecture Notes in Control and Information Sciences, Springer-Verlag, 380-385, 1990.
[9] Staar Gyula, A megélt matematika, Gondolat, 1990.
[10] Szabó Péter Gábor, Optimális körelhelyezések a négyzetben, Polygon X/2:48-64, 2000.
[11] A. Thue, Om nogle geometrisk taltheoretiske theoremer, Forhdl. Skand. Naturforsk. 14:352-353, 1892.


<-- Vissza a 2001/8 szám tartalomjegyzékére
<-- Vissza a Magyar Tudomány honlapra
[Információk] [Tartalom] [Akaprint Kft.]