Misha Gromov matematikája
Elek Gábor
PhD, Rényi Alfréd Matematikai Kutató Intézet
elek @ renyi.hu
2005-ben Misha Gromov kapta a Bolyai János Nemzetközi Matematikai Díjat Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces című könyvéért. Gromov korunk egyik legnagyobb geométere, a New York-i Courant Institute és az Institut Hautes Études Scientifiques kutatóprofesszora, Wolf-, Cartan- és Kiotó-díjas matematikus.
Elég sokat gondolkoztam azon, hogyan lehet megismertetni az Olvasót a gromovi matematikával. Gyönyörű az a tétele, hogy a polinomiálisan növekedő csoportok pontosan a virtuálisan nilpotensek, hihetetlen mélységek vannak a h-principle vagy a pozitív skalárgörbületű sokaságok leírása mögött, de ezekről nem lehet ismeretterjesztő cikket írni. Oda nemcsak, hogy királyi út nem vezet, hanem szinte semmilyen.
Aztán tegnap este a Mindentudás Egyetemét néztem a televízióban, és eszembe jutott valami. A téma a kombinatorika volt. Az előadás végén egy idős úr megkérdezte az előadót, hogy van-e köze a kombinatorikának a fraktálelmélethez. Egy ilyen kérdés igazi rémálom, amelyet a televíziós kamerák jelenléte csak súlyosbít. A válasz egy rendkívül udvarias „nem” volt. És valóban, a legdiszkrétebb matematika és a lehető legfolytonosabb közötti kapcsolatról érdeklődött a néző, aki feltehetőleg nem pontosan tudja, hogy Benoit Mandelbrot színes virágai mögé milyen matematikát is képzeljen. Ez a talán nem igazán szerencsés kérdés segített ennek a cikknek a megírásában.
A gromovi látásmódok közül az egyik legismertebb a durva (coarse) geometriai kép. Félre a zavaró részletekkel! Nézzünk a dolgokra szinte végtelen messzeségből, ahonnan a lokális struktúrák már nem érzékelhetők, a közeli pontok egymásba folynak. Vegyük például a háromdimenziós teret. Tekintsük most ebben a térben a térrácsot. Ez egy végtelen gráf, egy diszkrét szerkezet. Két pont gráfbéli távolságát a közöttük húzódó legrövidebb út definiálja. Ez a diszkrét metrika nem különbözik lényegesen az euklideszitől. Végtelen távolságból nézve a gráf és a tér már meg sem különböztethető, ha két elég távoli pontot veszünk a térben, két hozzájuk elég közel fekvő rácspont gráfbéli távolsága nagyjából a pontok euklideszi távolságával egyenlő. A rácspontok ráadásul elég sűrűen helyezkednek el a térben, úgy, hogy közben nem kerülnek egymáshoz túlságosan közel. Ezt Gromov úgy fejezi ki, hogy a tér és a rács durván ekvivalens, más néven kváziizometrikus. A geometriai objektumok, felületek, sokaságok durva tulajdonsága az, amit már a velük kváziizometrikus gráf is meghatároz.
Hogyan jönnek ide a fraktálok? Tekintsünk egy zárt H halmazt egy síkbeli egységnégyzetben. Lehet egy pont, egy vonal vagy akár egy Mandelbrot-halmaz. Ezt a halmazt egy gráffal fogjuk kódolni, nagyjából úgy, ahogy egy tárgyat egy képen pixelekkel megjelenítünk. Először is, osszuk fel a négyzetünket négy egyenlő kisebb négyzetre, majd minden kisebb négyzetet négy még kisebb négyzetre, így tovább a végtelenségig. Az egyszerűség kedvéért a 2-k oldal hosz-szúságú négyzeteket k-négyzetnek fogom nevezni. Egy k-négyzet akkor jó, ha elmetszi a H halmazunkat. Ezek a jó k-négyzetek lesznek a gráfunk csúcsai. Két jó k-négyzetet akkor kössünk össze, ha van közös pontjuk. Ezenkívül kössünk össze egy jó k-négyzetet egy jó k+1-négyzettel, ha azt tartalmazza. Az így kapott végtelen gráfban van egy kitüntetett csúcs, ami magához az egységnégyzethez tartozik, az innen kifutó, egyre távolodó végtelenbe futó utakhoz a halmazunk egy-egy pontja rendelhető. A fent konstruált gráfot a H halmaz Gromov-féle kúpjának nevezik. Ha a H halmaz elég szép, akkor a fraktáldimenziója egyszerűen kiolvasható a kúpgráfból. A kitüntetett csúcstól pontosan k távolságra eső csúcsok számának kettesalapú logaritmusát el kell osztani k-val, ez a hányados épp a fraktáldimenzióhoz fog tartani.
Gromov kidolgozott egy másik konstrukciót, ami egy tetszőleges végtelen gráfhoz rendel egy topologikus teret. A gráf segítségével először egy függvényalgebrát konstruál, és ennek az algebrának az ún. spektrumát tekinti, amit a gráf konformális határának nevez. A részletekkel nem terhelem az Olvasót, a lényeg az, hogy ha egy H térből indulunk ki, majd kombinatorikusan legyártjuk a kúpgráfját, és erre analitikusan a konformális határt, akkor visszakapjuk az eredeti teret.
Adódik a kérdés, hogy segítenek-e a gráfok a terek, illetve segítenek-e a terek, fraktálok a gráfok megértésében. A válasz mindkét esetben igen. Mély kapcsolat van térelméleti és gráfelméleti invariánsok között.
A Bolyai János Matematikai Díj nyertese szorosabb kapcsolatban van Bolyai Jánossal, mint azt gondolnánk. Legyen H egy körvonal. Ebben az esetben az ártatlannak tűnő kombinatorikus konstrukcióval Bolyai János hiperbolikus síkját nyerjük, legalábbis kváziizometria erejéig. Már Bolyai is észrevette, hogy geometriájában a háromszögek vékonyabbak, mint az euklideszi geometriában. Azaz egy tetszőleges háromszögben a beírt kör középpontja nem kerülhet túlságosan messze az oldalaktól. Gromovot ez a tulajdonság ragadta meg. Egyes végtelen gráfokban ugyanez igaz. Ha felveszünk három pontot, és legrövidebb utakat keresünk közöttük (általában több ilyen legrövidebb út létezik) lesz egy olyan csúcs, ami mindegyik úthoz legfeljebb L távolságra van, ahol L magától a gráftól függ, nem a pontoktól. Ezeket a gráfokat Gromov hiperbolikusnak nevezte. A végtelen bináris fa hiperbolikus, ahogy minden egyes kúpgráf, amit konstruálhatunk. Az euklideszi rácsok viszont nem hiperbolikusak.
Gromov észrevette, hogy számos érdekes diszkrét csoport ún. Cayley-gráfja hiperbolikus. Ezeket a csoportokat nevezte hiperbolikus csoportoknak. A hiperbolikus csoportok elmélete ma a geometriai csoportelmélet egyik legkutatottabb területe. Alapvető problémák megoldásában játszottak szerepet. Például a hiperbolikus csoportok segítségével konstruálták meg a Tarski-szörnyet. Ez egy két elem által generált végtelen csoport, amelyben minden egységtől különböző elem rendje ugyanaz a prímszám. Érdemes megjegyezni, hogy pontosan a hiperbolikus csoportok azok, amelyeknek számítástudományi értelemben a legalacsonyabb a komplexitásuk. Ez a tétel szintén Gromovtól származik.
Bolyai síkján keresztül Gromov összekapcsolta a topológiát a geometriával, az analízist a csoportelmélettel, megmutatva a matematika bámulatos egységét. Misha Gromov érdeklődése az utóbbi időben a genetika és a molekuláris biológia felé fordult, ezeken a területeken a matematika szerepe egyelőre összehasonlíthatatlanul kisebb, mint mondjuk az elméleti fizikában. Pontosan tudja, hogy milyen iszonyúan nehéz a feladat, hogy a világ esetleg nem olyan elegáns és egyszerű, mint ahogy a matematikusok szeretnék. De megpróbálja a majdnem lehetetlent. Reméljük, sikerrel jár.
Kulcsszavak: kvázi-izometria, hiperbolikus csoportok
<-- Vissza a 2006/7 szám tartalomjegyzékére
<-- Vissza a Magyar Tudomány honlapra
[Információk] [Tartalom] [Akaprint Kft.]