PETHŐ ATTILA (1950)

Matematikai Tudományok Osztálya • Szakterület: számelmélet • Foglalkozás: matematikus, egyetemi tanár, dékán

1. Tudományos munkáim jelentős része a diofantikus egyenletek elméletével foglalkozik. Ezek olyan egyenletek, amelyeknek a megoldásait az egész számok között keressük. Az elméletben fontos szerepet játszanak az elliptikus egyenletek, amelyekre nagyon sok probléma vezethető vissza. Egy elliptikus egyenlet megoldása (leegyszerűsítve) egy egész együtthatós harmadfokú polinomok értékkészletében előforduló négyzetszámok megkeresését jelenti. Ilyen egyenletekkel már Leonhard Euler is foglalkozott, és az elmúlt évszázadok alatt a számelméleti kutatások fontos alanya volt. 1968-ban Alan Baker Fields-díjas matematikus bizonyította be, hogy az elliptikus egyenletek algoritmussal megoldhatóak. Módszerét azonban, bár közben sokat finomítottak rajta, máig sem sikerült számítógépen implementálni. Az 1990-es évek elején, Josef Gebel és Horst Günter Zimmer német matematikusokkal sokkal hatékonyabb algoritmust sikerült kidolgoznunk. Módszerünk az elliptikus görbék algebrai elméletén, valamint a diofantikus- és numerikus számelmélet mély eredményein alapul. Több algoritmikus számelméleti programcsomagban implementálták. Olyan eszközt kaptak ezzel a diofantikus egyenletekkel foglalkozó kutatók, amely lehetővé teszi a korábban csak sok szép egyedi ötlettel megoldható, elliptikus egyenletek néhány másodpercen vagy percen belüli automatikus megoldását.

2. Az utóbbi időben érdeklődésem a helyiértékes számrendszerek általánosításai felé fordult. Rényi Alfréd a múlt század közepén vezetette be a β-előállításokat, később Kátai Imre definiálta a kanonikus számrendszereket. A két fogalomból egymással párhuzamosan fejlődő elméletek lettek. Egy informális nemzetközi kutatócsoporttal a múlt század végén kezdtük el vizsgálatainkat a kanonikus számrendszerekről, amelynek érdekes hozadéka volt a két elmélet közös gyökerének felfedezése. A közös gyökér egy diszkrét, dinamikus rendszer, amelynek sok érdekes tulajdonságát sikerült már kiderítenünk, de nagyon sok nyitott kérdést is felvetett. Az egyik izgalmas probléma a következő: legyen λ egy kettőnél kisebb abszolút értékű valós szám és an egész számok egy olyan sorozata, amelyik minden n-re eleget tesz a 0 ≤ an-1 + λ an + an+1 < 1 egyenlőtlenségnek. Azt sejtjük, hogy ekkor an periodikus. Ezt λ néhány értékére be is tudtuk bizonyítani, de az aritmetikai szempontból legegyszerűbbnek látszó, nem triviális eset, a λ = 1/2 is nyitott, és fogalmunk sincs, hogy milyen módon támadható.

Kutatómunkám másik aktuális területe a kriptográfia, az adatvédelem algoritmikus elmélete. A számítógépes hálózatok elterjedésének következtében fontossá vált az egymástól távol levő, egymást személyesen nem is ismerő felhasználók biztonságos azonosítása. Erre, mai ismereteink szerint, csak a nyilvános kulcsú kriptográfiai algoritmusok adnak bizonyíthatóan megfelelő megoldást. A nyilvános kulcsú kriptográfiai algoritmusok jelentős hányada nehéz számelméleti problémákon – prímfaktorizáció, diszkrét

logaritmusszámítás – alapszik. Kutatómunkámba az anonim azonosítás problémakörére koncentrálok. Az anonimitásnak többféle fokozata van a gyakorlatban. Lehet olyan, mint a papírpénz, amelynek önmagát kell igazolnia, az átmeneti tulajdonosa pedig lényegtelen. A titkos választás alkalmával a választásra jogosultnak igazolnia kell a személyazonosságát, de a voksa már nem különböztethető meg a többi választó szavazatától. Az objektív vizsgáztatás közben sem a vizsgáztató nem tudja, kinek a dolgozatát javítja, sem a vizsgázó nem tudja, ki értékeli a dolgozatát. Tehát a vizsgázó és a vizsgáztató is anonim, de van egy lényeges különbség közöttük: a vizsga befejezése után a vizsgázónak érdeke személyének felfedése, hiszen tudni akarja a vizsga eredményét. Ezzel szemben a vizsgáztató személye csak akkor válik érdekessé, ha olyan hibát vét, amely miatt akár ki is zárhatják a szakértői csoportból. A felsorolt és még sok más hasonló feladat megoldására többféle javaslat is található a szakirodalomban. Célom a problémakör szisztematikus feldolgozása és matematikai eszközökkel való elemzése.

3. Őszintén szólva ez a kérdés okozta a legnagyobb fejtörést. Sok híres tudóssal találkoztam személyesen, még többről olvastam, de eddig nem jutott eszembe példaképet választani. Igyekeztem a magam egyszeri útját járni. Az sem igaz persze, hogy senki sem hatott tudományos érdeklődésemre és fejlődésemre. Wolfgang Schmidt, Robert Tijdeman, Peter Bundschuh, Horst Günter Zimmer és Buzási Károly munkáikkal és emberi példamutatással is jelentős hatást tettek rám.

A legtöbbet azonban Győry Kálmán akadémikustól kaptam. Ő hívta fel a figyelmemet a számelmélet szépségére, és ismertette meg velem a tudományos munka műhelytitkait. Hatására kezdtem el foglalkozni diofantoszi egyenletekkel, ő volt a doktori témavezetőm. Megtanultam tőle, hogy csak jól kiérlelt és pontosan megfogalmazott eredményeket szabad kiadni a kezemből. Lényegében előzmények és támogatás nélkül építette ki a ma már nemzetközileg is elismert debreceni számelméleti iskolát.

4. Szívesen látnék olyan tudományos eredményeket, amelyek az emberiség energiaellátását hosszú távra biztosítanák. Zsófi unokám másfél éves, jó lenne tudni, hogy hatvan év múlva olyan életet élhet, mint én most.

A tudomány egyik nagy kérdésének tartom, hogy van-e a földihez hasonló fejlettségű élet más bolygón. Az utóbbi időben sok naprendszeren kívüli bolygót fedeztek fel, de civilizációra utaló jelet még nem tudtak észlelni.

Az egyetemes tudomány nagy kérdései után a szakterületem néhány izgalmas problémáját fogalmazom meg. Jurij Matjaszevics 1972-ben bizonyította be, hogy nem létezik olyan algoritmus, amellyel tetszőleges diofantoszi egyenletről eldönthető, hogy megoldható-e. Másrészt egyenletek széles osztályaira, például lineáris, kvadratikus, Thue- stb. ismerünk ilyen algoritmusokat. A harmadfokú egyenletek státuszát azonban még nem ismerjük. Ma még nem tudjuk, hogy van-e olyan eljárás, amely tetszőleges a,b racionális számra el tudná dönteni, hogy az y2 = x3 + a x + b elliptikus görbén van-e racionális pont. A 21. század egyik problémájának választott Birch- és Swinnerton-Dyer-sejtés erre választ adna.

A debreceni számelméleti iskola egyik legeredményesebb kutatási területe az egységegyenletek és alkalmazásaik vizsgálata. Nagyon általános feltételek mellett meg tudjuk mondani, hogy mikor lehet egy ilyen egyenletnek végtelen sok megoldása. A kétváltozós egységegyenletek összes megoldását is meg tudjuk határozni. Kettőnél több ismeretlenes egyenletekre azonban általában már nem ismerünk eljárást a megoldások megkeresésére. Én valószínűnek tartom, hogy ez is egy algoritmussal megoldhatatlan probléma, de szívesen látnám a bizonyítását.

Befejezésül egy kriptográfiai problémát említek. Peter Shor nevezetes eredménye szerint kvantumszámítógéppel a faktorizáció és a diszkrét logaritmus kiszámítása is megoldható polinom időben. Az irodalomból ismert legjobb implementáció azonban még csak a 15-öt volt képes prímszámok szorzatára bontani. A következő dekádtól azt várom, hogy van-e reális fizikai alapja a kvantumszámítógép hatékony implementációjának.