keskenyebbek lesznek az adott földtani képződményre
vonatkozó több empirikus információ esetén. Az eljárás hátránya, hogy
az elvégzendő számítások komplikáltabbak.
A lehetőségelmélet (possibility theory), amely az
intervallumanalízis általánosításának is tekinthető, egy a
bizonytalanság számszerűsítésére alkalmas modellt kínál egy esemény
bekövetkezésének lehetősége alapján (Zadeh 1978, Dubois – Prade,
1988). Az elmélet azt veszi alapul, hogy nem minden típusú
bizonytalanság kezelhető valószínűségi eloszlásokkal. Ehelyett
tagságfüggvényeket használ a nem számszerűsített bizonytalanságra. Egy
változó esetén egy valós szám tagságértéke (amely 0 és 1 között
változhat) azt fejezi ki, hogy e szám a változónak milyen mértékig
elfogadható, elhihető értéke.
Az ehhez kapcsolódó fuzzy halmazok elmélete (fuzzy
set theory) a bizonytalanságot gyakran fuzzy számok segítségével
fejezi ki. Ezek a bizonytalanság becslését különböző lehetőségi
szinten fejezik ki. A fuzzy számok definíció szerint unimodálisak, és
legalább egy helyen el kell érniük az 1 szintet, vagyis a teljes
lehetőséget. A geológiában főleg háromszög és trapéz alakú fuzzy
számokat alkalmaznak. Ezek lehetnek szimmetrikusak és aszimmetrikusak
is. Az adott változó lehetséges (szóba jöhető) legkisebb és legnagyobb
értékei reprezentálják a fuzzy száma tartójának alsó és felső
korlátját. A változó összes értéke e két korlát közé esik. Azok az
értékek, amelyek lehetőségének foka 1 (ezek alkotják a fuzzy szám
magját) a leginkább elképzelhető értékei a változónak. A fuzzy számok
a valós (crisp) számok általánosításai, mivel ez utóbbiak olyan fuzzy
számként foghatók fel, amelyek tartója egyetlen pontból áll. Az
aritmetikai műveletek kiterjeszthetők fuzzy számokra is. Ezek nagy
előnye, hogy nem kívánják meg a változók közti korreláció és a
valószínűség-eloszlás típusának ismeretét. A numerikus összehasonlítás
és rendezés céljából a fuzzy számokat visszakonvertálhatjuk crisp
számokká. Ezt az eljárást defuzzifikálásnak nevezik. A fuzzy számok fő
előnye az, hogy a korábbi geológiai tapasztalat beépíthető a fuzzy
számok konstrukciója során. A módszer lehetővé teszi a félkvantitatív
vagy kvalitatív bemenő adatok kiértékelését is. A geológiai populációk
gyakori átmenetei szintén reprezentálhatók fuzzy számok segítségével.
A hibrid aritmetika a valószínűség-eloszlásokat
kombinálja intervallumokkal, fuzzy számokkal és valószínűségi
korlátokkal. A módszer lehetővé teszi bármely korábban említett
„bizonytalan szám” használatát, és ez nagy előnye.
A neurális hálózatok rugalmas csomópontokból
állnak, amelyek egy példákra épülő tanulási folyamat során tárolják a
tapasztalati tudást, és elérhetővé teszik azt számunkra. Különösen
alkalmasak olyan komplex geológiai rendszerek és folyamatok
kiértékelésére, illetve összetevőinek szétválasztására, amelyeket túl
bonyolult megérteni a hagyományos modellezés segítségével. Egy
betanított neurális hálózat úgy tekinthető, mint egy „szakértő”.
Neuro-fuzzy rendszereket is kifejlesztettek, az adatokban meglévő
bizonytalanság nézőpontjából (Fullér, 2000).
A reménybeli nyersanyagkészletek felkutatásának
elősegítésére dolgozták ki a weights of evidence nevű módszert és
számítógépes programot (Agterberg, 1989), amely az előfordulások
legjellemzőbb ismérveit súlyozza. A bizonytalanságok jobb leírására
később a fuzzy tagságfüggvényeket is alkalmazták (Cheng–Agterberg,
1999). A módszert a hazai bauxitkutatásban a közelmúltban sikerrel
alkalmaztuk.
A mért pontok, pl. fúrások közötti interpolációra
nyújtott az eddigieknél pontosabb módszert az ún. copulák (magyarul
kötelékek) módszere. Ez az adott változók együttes, sokváltozós
standardizált eloszlásával dolgozik, egységesített marginális
értékekkel. A módszert Bárdossy András (2008) talajvizek
összetételének térképi értékelésére alkalmazta a hagyományos
geostatisztikai interpolálásnál pontosabb és részletesebb eredménnyel.
Különböző dimenziókban ismétlődő alaki jelenségek
jobb értékelését teszi lehetővé a fraktálgeometria módszere. A
jelenséget Benoît Mandelbrot (1982) ismerte fel, és azóta használata
széles körben elterjedt.
Térbeli irányított tulajdonságok értékelésére
szolgának a trend-felszín elemzések, a vektor-mező elemzések és a
pólus-eloszlás diagramok.
Idősorok, például víz vagy légköri áramlatok
értékelésére alkalmas az ismert Fourier-elemzés módszere, valamint a
periodogramok készítése.
A módszerek földtudományi
alkalmazásának tapasztalatai
Befejezésül a felsorolt módszerek földtudományi alkalmazásának
tapasztalatait tekintjük át. A legtöbb ismertetett módszert az ásványi
nyersanyagkutatásban és a készletek kiszámításában alkalmazzák.
Tapasztalataink szerint ezek közül a Bayes-statisztika alkalmazása
nyújtja a legtöbb új lehetőséget. A geofizikai kutatásokban a fenti
módszerek speciális felhasználását jelenti az ún. inverz-értékelés,
amely az elméleti modellek és a mért eredmények egybevetésével
történik. A bányászatban és a bányaföldtanban a mennyiség/minőség
(grade/tonnage) összefüggések értékelése jelent geomatematikai
újdonságot (Singer–Menzie, 2010).
Rendkívül fontos feladatkört jelent a természeti veszélyforrások
(földrengések, cunamik, vulkánkitörések, hurrikánok stb.)
előrejelzése, amelyben a Bayes-statisztikának van különös jelentősége.
A hulladékelhelyezésben elsősorban a radioaktív hulladék biztonsági
elemzéseiben van kiemelt szerepe a sztochasztikus és nemsztochasztikus
módszereknek. A környezettudományban a hagyományos statisztikai
módszerek mellett a nemsztochasztikus módszerek alkalmazása jelentene
előrelépést. A meteorológiában ugyanez a helyzet, kiegészítve a
kaotikus rendszerek értékelésének módszereivel. Végül a hidrológiában
a nemsztochasztikus módszerek és a copulák alkalmazása ajánlott.
A földtudomány minden szakterületének kutatásai
során sor kerül cselekvésről vagy nem cselekvésről való döntésre.
Mindkettőnek lehetnek jó vagy rossz következményei. Ezek
meghatározását, előrejelzését teszi lehetővé a matematikai
kockázatelemzés. Ennek elvi lépései a következők:
• az összes lehetséges kimenetel meghatározása;
• a kimenetelek valószínűségeinek kiszámítása (erre
a sztochasztikus és nemsztochasztikus módszerek együttes alkalmazása a
leghelyesebb);
• az egyes kimenetelek következményeinek
kiszámítása (lehetnek anyagiak, technikaiak, ökológiaiak, környezetiek
stb).
A kiinduló feltételek és a számítások eredményeinek
bizonytalansága miatt az eredmények bizonyos mértékig a tervezettől
eltérő, véletlen jellegűek lehetnek. E bizonytalansági tényezőkkel és
következményeikkel 2004-ben megjelent könyvünkben részletesen
foglalkoztunk. Legfontosabb tapasztalataink a következők: Gyakran
előfordul, hogy a kis valószínűségű kimeneteleket nem veszik
figyelembe, holott sok esetben ezek következményei a legsúlyosabbak.
Tudomásul kell venni, hogy a kimenetelek valószínűsége is csak
bizonytalansággal határozható meg, amit közölni is kell. A
következmények nagysága is bizonytalan. Az ún. érzékenység-elemzések
(sensitivity analysis) szolgálnak a befolyásoló tényezők szerepének
meghatározására. Itt is kiemelt fontosságúak lehetnek a kis
gyakoriságú tényezők, sőt az is előfordulhat, hogy kiütő értékeknek
(outliers) minősítik őket.
Tapasztalataink szerint a hagyományos
kockázatelemzési módszerek, például az ún. worst case analysis, nem
mindig vezetnek megbízható eredményekhez. Helyette a fuzzy logika és
az ún. hibrid módszerek alkalmazását ajánljuk. Sajnos napjainkig is
gyakran szakértői véleményt (expert’s opinion) használnak
matematikailag korrekt kockázatelemzés helyett. A következmények
katasztrofálisak lehetnek (például az idei kőolaj- és földgázkiömlés a
Mexikói öbölben). Nem tartozik a földtudomány szakterületéhez, de az
ajkai vörösiszap-katasztrófát is el lehetett volna kerülni –
véleményünk szerint – megfelelő kockázatelemzésekkel.
Az elmondottak alapján a földtudományokban a
geomatematikai alkalmazások optimális sorrendje a következő:
• szakterületi és geomatematikai modellezés;
• reprezentatív mintavétel, beleértve a szükséges
méréseket;
• számítógépes adatbázisok kialakítása;
• az alkalmazandó geomatematikai módszerek
kiválasztása;
• a mérettartomány-hatás (scaling effect)
figyelembe vétele;
• a számítási eredmények bizonytalanságának
meghatározása;
• kockázatelemzés a szükséges döntések
meghozatalához;
• átlátható és világos jelentés készítése az
esetleges alternatív lehetőségek bemutatásával.
Tapasztalataink szerint a mérettartomány-hatás mind
térbeli, mind időbeli tekintetben jelentős lehet, nem hanyagolható el.
Záró következtetések
A matematikai módszerek sikeres alkalmazásához a földtudományi és a
matematikai szakemberek szoros együttműködése szükséges.
Célszerű több alternatív matematikai módszert
alkalmazni, mert eredményeik többnyire kiegészítik egymást.
A szakértői vélemény többnyire nem nyújt kellő
biztonságot a szükséges döntések meghozatalához. Matematikailag
korrekt, korszerű biztonság elemzések elvégzését nélkülözhetetlennek
tartjuk.
Kulcsszavak: geomatematika, bizonytalanság, kockázatelemzés,
nemsztochasztikus bizonytalanságkezelő módszerek
IRODALOM
Agterberg, Frits (1989): Computer Programs
for Mineral Exploration. Science. 245, 76–81.
Bárdossy András – Li, Jing (2008):
Geostatistical Interpolation Using Copulas. Water Resources Research.
44, 1–15.
Bárdossy György – Fodor János (2004):
Evaluation of Uncertainties and Risks in Geology. Springer,
Berlin–Heidelberg, •
WEBCÍM >
Cheng, Quiming – Agterberg, Frits (1999):
Fuzzy Weights of Evidence Method and its Application in Mineral
Potential Mapping. Natural Resources Research. 8, 27–35. •
WEBCÍM >
Dempster, Arthur – Shafer, Glenn (1976): A
Mathematical Theory of Evidence. Princeton University Press
Dubois, Didier – Prade, Henri (1988):
Possibility Theory. Plenum Press, New York.
Ferson, Scott – Root, W. – Kuhn, R.
(1999): Risk Assessment with Uncertain Numbers. Applied
Biomathematics, New York
Fullér Róbert (2000): Introduction to
Neuro-Fuzzy Systems. Physica-Verlag, Heidelberg
Imam, R. L. – Shortencarrier, M. J.
(1984): A Fortran 77 Program and Users’ Guide for the Generation of
Latin Hypercube and Random Samples for use with Computer Models.
Sandia National Laboratories, Albuquerque, New Mexico
Mandelbrot, Benoît B. (1982): Fractal
Geometry of Nature. Freeman and Co., New York
Matheron, Georges (1971): The Theory of
Regionalized Variables and its Applications. Les Cahiers du Centre de
Morphologie Mathématique, Fontainebleau •
WEBCÍM >
Moore, Ramon E. (1966): Interval Analysis.
Prentice-Hall. Englewood Cliffs, New Jersey.
Mustapha, Hussein – Dimitrakopoulos,
Roussos (2010): High-order Stochastic Simulation of Complex Spatially
Distributed Natural Phenomena. Mathematical Geosciences. 42, 457–485.
•
WEBCÍM >
Singer, Donald A. – Menzie, W. David
(2010): Quantitative Mineral Resource Assessments. Oxford University
Press
Yager, Ronald R. – Liu, Liping (2008):
Classic Works of the Dempster-Shafer Theory of Belief Functions.
Springer, Berlin.
Zadeh, Lotfi (1978): Fuzzy Sets as a Basis
for a Theory of Possibility. Fuzzy Sets and Systems. 1, 3–28.
|