TAKÁCS LAJOS
1924–2015

Takács Lajos 1924. augusztus 21-én született Maglódon. Az elemi iskolát ugyanitt, a középiskolát Budapesten végezte, 1943-ban érettségizett. A matematika iránti érdeklődése és tehetsége korán megmutatkozott. Tizenöt éves korában elolvasta Euler Algebráját, majd több magyar és német nyelvű matematikakönyvet, köztük Beke Manó népszerű Differenciál és integrálszámítását. Érettségi után részt vett az Eötvös Loránd matematikai tanulóversenyen, melyen második helyezést ért el. Ugyanebben az évben beiratkozott a Műegyetemre, mely abban a formában 1934-ben jött létre, teljes neve: Magyar Királyi József Nádor Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem volt. Itt Huszár Gézának, a biztosítási matematika professzorának asszisztense lett. Az első év végétől egy tanéven át a háború miatt szünetelt az oktatás, és amikor 1945 őszén újból elkezdődött, Takács a Gazdaságtudományi Kar Statisztika Tanszékének tanszékvezető professzora, a későbbi akadémikus, Jordan Károly előadásait kezdte látogatni. Jordan világhírű statisztikus volt, Takács az ő tanítványa lett, de átjárt a Pázmányra is matematikai előadásokat hallgatni. Vele együtt hallgatott előadásokat a „big five” (Császár Ákos és négy további kiváló évfolyamtársa). Takács nem lett tagja ennek a közösségnek, pedig tehetsége alapján méltán jöhetett volna létre vele együtt egy big six. Ő azonban egy másik egyetemről jött vendéghallgatóként ült a padokban, ez elválasztotta tőlük. Másfelől a Műegyetemen Jordan körül is létrejött egy elit tanítványi közösség, melynek Takácson kívül ismertebb tagjai Ziermann Margit és a későbbi fizikus akadémikus Pál Lénárd voltak. Itt jegyezzük meg, hogy 1949-ben a Schweitzer Miklós matematikai emlékversenyen Takács Lajos első díjat nyert.

1945 őszén Bay Zoltánnak, a Műegyetem Atomfizikai Tanszéke vezetőjének gyakornoka lett. A tanszék munkatársai a Tungsram (Egyesült Izzó) Kutató Laboratóriumában végezték kutató munkájukat, ahol, 1936 óta, Bay Zoltán volt az igazgató. A gyár is és a laboratórium is világhírű volt. Takács részt vett Bay kísérleteiben, a Holdra küldött radarjelek viszhangjának észlelésében, kiértékelésében és a foton természetének vizsgálatában (Takács, 1997). A radart 1936-ban fedezte fel a skót Robert Watson-Watt (valójában már 1904 óta ismert volt, de a háború miatt vált fontossá). Magyarország is foglalkozott vele, a Honvédség 1942-ben felkérte Bay professzort légvédelmi célú radar építésére. El is készült egy működőképes példány, melyet Jászkiséren állítottak fel légvédelmi céllal. A radarjelekkel kapcsolatban Takács feladata a Hold helyzetének meghatározása és mozgásának nyomon követése volt, hogy a leadott jelsorozat célba találjon. Takács ezt a feladatot hibátlanul megoldotta, ehhez segítséget nyújtott Detre László csillagászprofesszor. 1946. február 6-án Pócza Jenő tanársegéddel kettesben végezték a kísérleteket, amikor a radarvisszhangot először észlelték. A kísérletek során Bay Zoltán egy ötletét alkalmazták, jelsorozatokat küldtek a Holdra, és a zajt átlagolással kiszűrték. Ez azért volt lehetséges, mert a zaj által okozott hiba az észlelések számának csak a négzetgyöke arányában növekszik. Egyetlen jel visszhangját nem lehetett a zajtól elkülöníteni, de hosszú időre átlagolva a jel/zaj viszony emelkedéséből lehetett az észlelés valódiságára következtetni. Bay Zoltán zseniálisan alkalmazta a statisztikai elvet a radarral végzett kísérletekre, elgondolását siker koronázta és ez egyben a statisztika diadala volt. Az eredményekről (Bay, 1947) cikkében számolt be. Kár, hogy Takács nem közölt részleteket a Bay-projektben végzett munkájáról, csak a negyven évvel későbbi (Takács, 1986) és a még későbbi (Takács, 1997) rövid tudósításokban olvashatunk erről.

A magyar kutatócsoport később értesült arról, hogy az Egyesült Államokban, New Jersey egy tengerparti városában, Belmarban, John DeWitt ezredes irányításával, kb. egy hónappal korábban, január 10-én, már észleltek Holdról visszaverődő radarjeleket (Gootée, 1946). Az amerikaiak lényegesen jobb körülmények között végezték kísérleteiket. Bay Zoltánék magyar fejlesztésű radarral dolgoztak, a felszerelési hiányosságot azonban pótolta néhány zseniális megoldásuk.

Takács 1948-ban doktorált Jordan Károlynál, disszertációjának címe A Brown-mozgás valószínűségszámítási tárgyalása volt. 1948–1955 között a Tungsram Kutató Laboratórium utódjánál, a Távközlési Kutató Intézetnél dolgozott. 1950–1958 között tagja volt az MTA Alkalmazott Matematikai Intézetének (1950–1955), illetve az átalakult Matematikai Kutató Intézetnek (1955–1958). 1953–1958 között az ELTE Valószínűségszámítási Tanszékének adjunktusa is volt. 1957-ben a kandidátusi fokozat kihagyásával A részecskeszámlálók elméletében fellépő sztochasztikus folyamatok című disszertációjával megszerezte a matematikai tudományok doktora fokozatot. 1958-ban vendégtanári meghívást kapott a londoni Imperial College-tól és a London School of Economicstól. Angliából nem tért haza. Ott ismerkedett meg Pálóczi Horváth Dalmával, akivel 1959-ben házasságot kötött. Dalma később az ohiói Notre Dame College Angol Tanszékének lett tanszékvezető tanára.

Takács Lajos a New York-i Columbia University professzora lett (assistant 1959–60, associate 1960–1966). Egyidejűleg dolgozott a Bell Laboratory és az IBM számára is konzultánsként. 1966-ban full professor lett Clevelandben a Case Institute of Technologyn, majd annak jogutódján, a Case Western Reserve Universityn. Innen ment nyugdíjba és lett emeritus professzor 1987-ben. Nyugdíjasként töretlen energiával alkotott, publikált. Élete utolsó éveiben egészségi problémákkal

küzdött. A halál Clevelandban érte, 2015. december 4-én, felesége és két lánya vele volt utolsó perceiben. A clevelandi történelmi Lakeview Cemeteryben temették el.

Takács Lajos a 20. századi valószínűségelméleti iskola egyik meghatározó és legkiemelkedőbb egyénisége volt. Az Izzó Kutató Laboratóriumában, majd a Távközlési Kutató Intézetben eltöltött évek a problémamegoldás és a problémákkal való töltekezés évei voltak. Ugyanez elmondható az MTA Alkalmazott Matematikai Intézetére is, ahol az ötvenes években intenzív alkalmazási munka folyt, az intézetet sok mérnök, közgazdász, orvos és természettudós látogatta. Takács a valószínűségelméleti gondolkodásmódot Jordan Károlytól sajátította el. Munkáira jellemző a véletlennel kapcsolatos „természettudományos” gondolkodásmód és a mélyenszántó matematikai gondolatok egysége.

Eredményeinek egy része a véletlen pontfolyamatok, pontrendszerek és az általuk generált másodlagos folyamatok köré csoportosul. A szakirodalomban a „megjelölt (marked) Poisson-folyamat” néven említett modell Takácsnál fordul elő először. Alkalmazásait az elektroncsövekre kezdte, de később sok egyéb problémára kiterjesztette, általánosította. Ezek körében a legszínvonalasabb a számlálócsövek Takács-féle elmélete. A terület szoros kapcsolatban van a tömegkiszolgálás (queueing theory) elmélettel is, melynek Takács kezdeményezője és legeredményesebb kutatója volt. Ennek egy speciális esetét Takács-folyamatnak nevezik a szakirodalomban, és egy eloszlás-függvény meghatározására vonatkozó elegáns integro-differenciál egyenlet Takács nevét viseli.

A Poisson-folyamat általánosítása, az ún. felújítási folyamat vagy rekurrens folyamat (angol neve: renewal process), midőn a szomszédos események közötti időtartamok azonos eloszlásúak és függetlenek, de nem feltétlenül exponenciális eloszlásúak, szintén Takácstól származik, legalább részben. 1954-ben Takács egy ezzel kapcsolatos dolgozata hozzám került lektorálás céljából, ám azt menetközben a szerző visszakérte javítás céljából (akkoriban nem titkolóztunk a lektor személyét illetően, hanem a szerző és a lektor személyesen is együttműködött). A dolgozatban volt egy tévedés, amit Takács észrevett és kijavított. A tévedés a következő volt: egy rekurrens folyamatban tekintjük egy adott, rögzített időponttól a legközelebbi eseményig eltelt idő várható értékét, erről azt állítjuk, hogy nem lehet nagyobb, mint a szomszédos események közötti időtartam várható értéke. A valóság az, hogy ez lehetséges, és akkor fordul elő, ha az események közötti időtartam szórása nagy. A jelenség a mai szakirodalomban inspection paradox néven ismert, tudomásom szerint ezt Takács fedezte fel.

A kombinatorika Takács egyik kedvenc problémaköre és kutatási területe volt. Több fontos eredményt ért el ezeknek a sztochasztikus folyamatok elméletével való összekapcsolása terén. Ide tartoznak az ún. választási tételek (ballot theorems), ahol annak a valószínűségét keressük, hogy a szavazáshoz leadott szavazatok számában egy jelölt végig vezet a riválisával szemben, és azok alkalmazásai, sztochasztikus folyamatok maximumaira vonatkozó tételek, rendstatisztikai tételek stb. Takács ezeket az eredményeket az 1967-ben megjelent könyvében összegezte (Takács, 1967). Megemlítem, hogy az ún. magyar készletmodell, vagy Prékopa–Ziermann-féle modell az 1960-as évek első felében készült. Formuláink egy része speciális esete lett az általánosabb Takács-féle formuláknak, de sikerült azok segítségével újakat is nyernünk az országos jelentőségű készletgazdálkodási problémák megoldásához.

A kombinatorikai problémák körébe sorolhatjuk a véletlen gráfokkal és az ún. inclusion-exclusion formulákkal kapcsolatosakat. Az utóbbiakat Takács Jordan Károlytól tanulta, aki maga is publikált e téren, formulákat vezetett le események Boole-függvényei valószínűségére. Takács észrevette, hogy azokat Jordan Károly névrokona, a francia  Camille Jordan 1867-ben már közölte. Idevágó eredményei újabb koincidenciaproblémák megoldását tartalmazzák, illetve eredményeket végtelen sok esemény vizsgálatának esetére.

Takács 70. születésnapja alkalmából Jewgeni H. Dshalalow és Ryszard Syski (1999), továbbá Joseph Mark Gani és Galambos János (1994) írt munkáiról részletes méltatást, az érdeklődő olvasó ezekben és önvallomásában (Takács, 1986) talál további részleteket.

Takács Lajos 1952-ben Grünwald-díjat kapott a Bolyai Társulattól, 1993-ban külső tagja lett a Magyar Tudományos Akadémiának, 1994-ben az INFORMS (Institute for Operations Research and Managemant Science) John von Neumann elméleti díjjal tüntette ki és fellow-vá választotta. Munkásságát az operációkutatás részének is tekintették. Takács tehát az operációkutatás klasszikusa is, és művelői első generációjához tartozik. Ez év márciusában a European Conference on Queueing Theory (ECQT) bejelentette, hogy díjat hoztak létre a tömegkiszolgálás-elmélettel és annak alkalmazásával foglalkozó kiváló PhD-disszertációk jutalmazására, melyet Takács Lajosról neveztek el.

Takács Lajos hat könyvet és 225 tudományos dolgozatot publikált. Az alábbi felsorolásban három fontosabb könyve (Takács, 1960, 1962, 1967) nyer említést.

Prékopa András
az MTA rendes tagja, emeritus professzor
ELTE Operációkutatási Tanszék
andras.prekopa@gmail.com
 

IRODALOM

Bay Zoltán (1947): Reflections of Microwaves from the Moon. Acta Physica Hungarica. 1, 1–6. DOI: 10.1007/BF03161123. • WEBCÍM

Dshalalow, J. H.  – Syski, R. (1999): Lajos Takács and His Work. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 7, 215–237. • WEBCÍM

Gani, Joseph Mark – Galambos Janos (1994): Lajos Takács, an Appreciation. Studies in Applied Probability, Papers in Honour of L. Takács. Journal of Applied Probability. Special Volume 31/A. X–XIII.

Gootée, Tom (1946): Radar Reaches the Moon. Radio News. 04-R, 25–27, 84–88. • WEBCÍM

Takács Lajos (1960): Stochastic Processes. Methuen, London

Takács Lajos (1962): Introduction to the Theory of Queues. Oxford University Press.

Takács Lajos (1967): Combinatorial Methods in the Theory of Stochastic Processes. John Wiley, New York

Takács Lajos (1997): Holdvisszhang 1946. február 6-án. Fizikai Szemle. I, 20. • WEBCÍM

Takács Lajos (1986): Chance or Determinism? The Craft of Probabilsitic Modelling. A Collection of Personal Accounts (Gani, Joseph Mark ed.). Springer, New York, 139–149. • WEBCÍM