Az internet korai szakaszában nem számoltak azzal,
hogy az interneten megjelenő szereplők (szolgáltatók, felhasználók
stb.) saját érdekeiket szem előtt tartva cselekszenek, és ezzel
jelentős mértékben rontják az erőforrások hatékony felhasználását.
Ennek a nagyvonalúságnak egyik oka, hogy a katonai, illetve tudományos
célokat szolgáló hálózatok szereplői követték a számukra előírt
magatartást, azaz nem önérdekkövetően, hanem központilag előírt
szabályokat betartva viselkedtek. Az internet egy későbbi szakaszában
belépő újabb szereplők, a technika bűvöletében, jellemzően altruista
magatartást követtek. Ezért a kezdetben kialakított internetes
forgalmat szabályozó protokollok biztosították a hálózat hatékony
működését. Ez az ideális helyzet már régóta megváltozott, mivel az
interneten jelenlevő profitorientált szolgáltatók, valamint a
különböző fájlokat fel- és letöltő felhasználók önérdeket követő
szereplőkként viselkednek.
Az interneten megjelenő szereplők tulajdonképpen, e
cikkgyűjtemény Forgó Ferenc által írt játékelméleti bevezetőjében
ismertetett fogalommeghatározás szerint, egy sokszereplős játékban
vesznek részt. Mivel az internet működése során számos zavarral −
például túlzsúfoltsággal, az erőforrások pazarló felhasználásával, a
költségek igazságtalan felosztásával stb. − szembesülünk, ezért a
jelenlegi Border Gateway Protocol (BGP) által teremtett játékszabályok
távolról sem optimálisak az internetező társadalom számára. E
problémák kezelésére alkalmas eszköznek bizonyul az ugyancsak e
számban Csekő Imre által ismertetett mechanizmustervezés, melynek
éppen az a célja, hogy a közösség számára egy valamilyen értelemben
jónak mondható eredményt érjen el, az egyének önérdekkövető
magatartása alapján, a megfelelő játékszabályok kialakításával. Ez az
internet esetében az alkalmas protokollok megválasztását jelenti. A
mechanizmustervezés eredendően közgazdasági irodalma azonban nem
foglalkozik a mechanizmusok számításigényével, ami meggátolja az
eredmények közvetlen alkalmazását az internet modellezésére. E
hiányosságot oldja fel az algoritmikus mechanizmustervezés, amely az
algoritmusok elmélete és a mechanizmustervezés ötvözeteként született
meg Noam Nisan és Amir Ronen (2001) úttörő munkájának köszönhetően.
Tanulmányom az algoritmikus mechanizmustervezés
irodalmának néhány problémáját mutatja be. Egyrészt megvilágítja a
játékelmélet hálózatokon történő alkalmazását, másrészt rámutat a
mechanizmusok bonyolultságelméleti oldalról jelentkező nehézségeire.
Az első problémánk egy csomagnak a feladótól a címzettig minimális
költséggel történő eljuttatása egy olyan hálózaton keresztül, amelyben
az egyes összeköttetéseket biztosító szolgáltatók valóságos költségeit
csak az adott szolgáltató ismeri. Tehát a cél egy minimális költségű
útvonal meghatározása önérdeket követő szolgáltatók mellett, amelynek
példája mechanizmustervezési környezetben Nisan és Ronen (2001)
cikkében jelent meg. A második problémánál az interdomain routing már
nemcsak két szereplő közötti csomagküldéssel, hanem a teljes hálózat
forgalmával foglalkozik. A világháló méretéből adódóan a
forgalomirányítás kezeléséhez egy decentralizált modell alkalmazása
célszerű. A harmadik részben egy, a hálózaton belüli zsúfoltság
vizsgálatára is alkalmas modellel ismerkedünk, amely már nem az
internetező társadalom számára optimális megoldást célozza meg, hanem
az önérdekkövetésből eredő jóléti veszteséget igyekszik behatárolni. A
negyedik rész a tudományterülettel kapcsolatos záró gondolatokat
tartalmaz.
Minimális költségű útvonalak
A hálózatot a G=(V,E) irányított gráffal reprezentáljuk, ahol a V
csúcshalmaz az internet szereplőit, az E élek halmaza pedig a csúcsok
közötti kapcsolatokat reprezentálják. Ha az u szereplő közvetlenül
továbbíthat egy csomagot a v szereplőnek, akkor ezt (u,v)ÎE-vel
jelöljük. Továbbá egy csomag továbbításának közvetlen költségei a
C:E→R+ függvénnyel adottak. Ilyen hálózatot mutat az 1. ábra.
1. ábra
Feladatunk, hogy a hálózat egy sÎV
csúcsából a tÎV
csúcsába egy csomagot juttassunk el a lehető legkisebb költséggel. Az
1. ábrán jelzett hálózatban a minimális költségű útvonal a
vastagon jelzett s,u,x,t útvonal, amely összesen 4 egységnyi
költséggel jár. A két pont közötti legrövidebb útvonalat gyorsan
megkapjuk például Edsger Dijkstra algoritmusával (lásd Rónyai et al.,
1999). A problémát az okozza, hogy az élek költségei az összeköttetést
biztosító szereplők privát információi, és ezért Dijkstra algoritmusát
csak a közölt és nem feltétlenül valós költségekre futtathatjuk le. A
mechanizmustervezés eszköztárát használva el szeretnénk érni, hogy a
szereplők (az egyes élek, illetve összeköttetések birtokosai, a
továbbiakban játékosok) a valós költségeiket önként közöljék egy játék
segítségével, és ezáltal a csomag valóban a legkisebb költségű
útvonalon jusson s-ből t-be. A játékosok tehát az élek birtokosai és a
stratégiahalmazuk az általuk birtokolt él lehetséges költségeinek
halmaza, jelen esetben a nem negatív valós számok halmaza. A közölt
költségek alapján a mechanizmus meghatározza a minimális költségű
útvonalat, a csomagot a legrövidebb útvonalon keresztül juttatja el
s-ből t-be, a legrövidebb útvonalon szereplő játékos megkapja a
bemondott költségeit, a többi játékos pedig nem részesül kifizetésben.
Mivel a játékosok csak saját költségeiket ismerik, előfordulhat, hogy
például az (s,u) él birtokosa − röviden (s,u) játékos − a valóságos 1
költsége helyett 5-öt közöl profitjának növelése érdekében. Ekkor
azonban a mechanizmus az s,v,z,t útvonalat határozza meg, feltéve,
hogy a többi szereplő az ábrában látható valós költségét közli. Ha az
(s,u) játékos csak 2-re emelte volna állítólagos költségét, akkor
továbbra is a minimális költségű útvonalon maradna, és profitot
realizálhatna, a többi szereplő változatlan viselkedését feltételezve.
Vázoltunk tehát egy hálózat felett értelmezett
játékot, és feledkezzünk meg egyelőre arról, hogy milyen egyensúlyi
koncepció (például Nash-egyensúly, domináns egyensúly stb.) mellett
kívánjuk meghatározni a játék kimenetelét. Tegyük fel, hogy a tervező
azt kívánja elérni, hogy a csomag mindenképpen a valódi − de számára
ismeretlen − költségek melletti minimális költségű útvonalon jusson el
a feladótól a címzettig. Ha esetleg több minimális költségű útvonal is
létezne, akkor ezek egyikén haladjon a csomag. A tervező céljai
elérése érdekében transzferkifizetésekkel él, azaz a kinyilvánított
költségek függvényében eltérő összegeket juttathat, illetve vonhat el
a játékosoktól céljának elérése érdekében. Ezért a tervező „értékeket”
rendel a hálózat egyes éleihez. Ha például az 1. ábrában kiesne
az (s,u) él − ami úgy is reprezentálható, hogy az (s,u) él költségét
végtelenül nagyra vesszük −, akkor ezzel az s,v,z,t útvonal válna
minimális költségű útvonallá, méghozzá 7 összköltséggel, ami 3-mal
több a teljes hálózat minimális összköltségénél. Tehát (s,u) a valódi
1 költségén felül legfeljebb további 3 egységet tudna elismertetni,
és így összesen 4 egységet kinyilvánítani úgy, hogy még továbbra is
egy minimális költségű útvonalon maradjon. Ezt a 4 egységet nevezzük
az (s,u) játékos marginális hozzájárulásának, amellyel a tervező
honorálja az (s,u) játékos jelenlétét.
Általánosan az E=(u,v)ÎE
játékos MCc(e) marginális hozzájárulását a c:E→R+
kinyilvánított költségek − azaz a játékosok stratégiaprofilja −
alapján úgy határozzuk meg, hogy kiszámoljuk a c|c(e)=∞ minimális
összköltségű útvonal költségét az e játékos hálózatból történő
kiiktatása esetén, majd kiszámoljuk a c|c(e)=0 minimális összköltségű
útvonal költségét abban az esetben, ha az e játékos élköltsége nulla
volna. Így megkapjuk az e játékos által maximálisan elkérhető
összeget, feltéve, hogy minimális összköltségű útvonal mentén kíván
maradni, ha ez számára egyáltalán lehetséges a c:E→R+ kinyilvánított
költségek mellett. Végül a marginális hozzájárulása a két érték
különbségeként adódik. A minimális összköltségű útvonalon nem szereplő
játékosok marginális hozzájárulásait nullának tekintjük. A tervező
céljának érdekében az egyes játékosoknak a kinyilvánított c:E→R+
költségek alapján számított marginális hozzájárulásukat juttatja.
Vegyük észre, hogy a tervező által kitalált mechanizmus mellett a
játékosok bevételei nem függnek a saját költségeiktől. Egy, a
minimális összköltségű útvonalon elhelyezkedő játékos nyeresége a
transzferkifizetésként kapott összeg és a csomag továbbításával járó
költségének különbségeként adódik. A csomag továbbításában részt nem
vevő játékosok profitjai mind nullák. Tegyük fel: a játékosok
egymástól függetlenül szimultán módon közlik a tervezővel a
kinyilvánított költségeiket.
Tétel. A fenti módon definiált hálózati játékban a
szereplők a valódi költségeik kinyilvánításában érdekeltek.
A tétel bizonyítása nagyon egyszerű. Gondoljuk meg,
hogy mi történne, ha egy e játékos valódi költségénél kisebb értéket
adna meg. Ekkor a többi játékos költségeit és kinyilvánított
költségeit nem ismervén megkockáztatja, hogy egy minimális
összköltségű útvonalon elhelyezkedve a transzferkifizetései nem
fedezik a valódi költségeit. Ez a helyzet akkor állhat elő, ha a
kinyilvánított c:E→R+ költségek mellett e csak a túl alacsonyan
megállapított c(e) költségének köszönhetően vehet részt a csomag
továbbításában, és a (többiek által kinyilvánított költségektől függő)
marginális hozzájárulása kisebb a valódi költségénél, azaz MC(e)<c(e).
Ha pedig egy e játékos valódi költségénél nagyobb értéket ad meg,
akkor elképzelhető, hogy a megtévesztése miatt lekerül egy neki
előnyös minimális összköltségű útvonalról. Tehát bármely játékosnak a
valódi költségét érdemes megadnia.
Az eddigiek alapján könnyen ellenőrizhető, hogy
minden játékos domináns stratégiája az igazmondás, azaz a valódi
költségek kinyilvánítása, amely a többi játékos
költségkinyilvánításaitól függetlenül optimális, és ennek
következtében a mechanizmus domináns stratégiákban implementálja a
bemutatott minimális összköltségű útvonaltervezés problémát.
A probléma domináns stratégiákban való
implementálhatósága az internet tekintetében nagyon kedvező, mivel a
hálózat nagy és egyben változó mérete miatt nem várható el, hogy a
szereplők ismerjék egymás költségeit. Viszont a mechanizmus
kellemetlen tulajdonsága a transzferek igénye. Nézzük meg, hogy az
1. ábrán látható hálózat esetében mennyibe kerül a tervezőnek a
kitűzött cél elérése. Az (s,u) játékosnak, mint már megállapítottuk, 4
egységet kell juttatni, míg az (u,x) és (x,t) játékosoknak hasonló
megfontolásból rendre 5 és 4 egységet kell juttatni. Tehát a
mechanizmus fenntartása 13 egységet igényel, amelyet a mechanizmus
tervezőjének vagy a csomag küldőjének kell viselnie.
Megjegyzendő, hogy az ismertetett mechanizmus az
úgynevezett Vickrey–Clarke–Groves-mechanizmusok, röviden
VCG-mechanizmusok (lásd például Mas-Colell et al., 1995, 879.)
családjába tartozik, amely pénzben kifejezhető hasznossági függvényű
játékosokat, továbbá a mechanizmus és a játékosok között pénzügyi
transzfereket igényel. Pontosabban a VCG-mechanizmusok úgynevezett
kvázilineáris hasznossági függvények alkalmazását teszik szükségessé,
melyek u(a,m)=v(a)+m alakúak, ahol v(a) a társadalmilag
megvalósuló a alternatíva pénzbeni értéke és m a játékos pénzösszege.
Jelölje A az alternatívák és {1,2,…,n} a játékosok halmazát. Ekkor a
VCG mechanizmus egy (f,p1,p2,…,pn)
struktúra, ahol f(v1,v2,…vn)
egy, a v1(a)+v2(a)+…+vn(a)
kifejezést maximalizáló alternatíva − azaz az f társadalmi
választási függvény egy olyan a alternatívát választ, amely
maximalizálja a játékosok által az alternatíva pénzben kifejezett
értékeinek összegét −, pi pedig a mechanizmus által
az i játékosnak jutatott transzfer (lehet negatív is), amely
független az i játékos hasznossági függvényétől. A
VCG-mechanizmusok segítségével a tervező domináns stratégiákban
igazsághűen implementálhatja céljait. Érdemes az olvasó figyelmét
felhívni arra, hogy a Gibbard–Satterthwaite-tétel (lásd e számban
Csekő Imre szavazáselméleti és mechanizmustervezési ismertetőjét)
szerint legalább három alternatíva és tetszőleges
preferenciasorrendek esetén az igazsághű domináns implementálhatóság
csak a diktatúrát jellemzi. Ilyen értelemben a hasznossági függvények
kvázilinearitása egyfajta menekvést jelent a
Gibbard–Satterthwaite-féle lehetetlenségi tétel alól. Ráadásul az
internet példáját tekintve egy elfogadható feltevésről van szó, mivel
a szereplők a bevételeiket és költségeiket pénzben fejezik ki. Ezért
az algoritmikus mechanizmustervezés területén előszeretettel
használnak VCG-mechanizmusokat. Az algoritmikus szempontokat egyelőre
figyelmen kívül hagyva a minimális összköltségű útvonal-problémánál és
általában a VCG-mechanizmusoknál is gondot okoznak a
transzferrendszeren keresztüli többletkifizetések a játékosok részére
(emlékeztetőül a példánkban ez 13-4=9 egységet jelentett). Az
internet-gráfra vonatkozóan megnyugtató, hogy mérete miatt léteznek
közel azonos összköltségű útvonalak, és ezért a többletkifizetések
mértéke a minimális összköltségű útvonal-problémánál nem jelentős
(Karger − Nikolova, 2006).
A minimális összköltségű útvonal problémája
algoritmikus szempontból jól kezelhető, mivel a játékosok saját
típusaikat és optimális stratégiáikat könnyen meghatározhatják,
valamint stratégiájukat a tervezőközpont felé gyorsan (az élek
számában lineáris időben) továbbíthatják. Végül a beérkezett
információk alapján a központ, például Dijkstra algoritmusával,
gyorsan meghatározhatja az eredményt.
Interdomain routing
Az előző részben közölt minimális költségű útvonal meghatározása
feltételezi egy központi tervező jelenlétét, aki képes a hozzá
beérkező információ alapján a transzferek kiszámítására. Mivel az
internet önszerveződő hálózat, ilyen erős szerepkörrel felruházott
központi csomóponttal nem számolhatunk. Ráadásul egy esetleges
központi tervező beiktatása bonyolultsági szempontból lehetetlen az
internetgráf méretéből adódóan. Ezért a mechanizmustervezőnek céljait
egy decentralizált elosztott rendszeren keresztül kell megvalósítania.
Az internet egy primitív modelljének bemutatása
előtt szükségünk lesz néhány fogalomra. Az internet
|
|
autonóm rendszereket − például egyetemi
hálózatokat, államigazgatási szervek hálózatait, vállalati hálózatokat
− köt össze, amelyek belső adatforgalmát vezérlő protokolljait az
autonóm rendszerek saját maguk alakíthatják ki, míg az autonóm
rendszerek közötti kommunikáció szabványa az ún. Border Gateway
Protocol (BGP). Az autonóm rendszeren belüli forgalomirányítást
intradomain routingnak, az ilyen rendszerek közötti forgalomirányítást
interdomain routingnak nevezik. A továbbiakban kizárólag az
interdomain routinggal foglalkozunk.
Mielőtt továbbhaladunk, vázlatosan ismertetjük a
BGP-t. Ehhez az internetet egy G=(V, E) irányítatlan gráffal
reprezentáljuk, amelynek a csúcsai az autonóm rendszerek és az élei az
autonóm rendszerek közötti összeköttetések. Tegyük fel, hogy egy tÎV
csúcsába kívánunk egy csomagot eljuttatni, és jelölje Pv
a v csúcsból a t-be vezető körmentes útvonalak
halmazát. A protokollnak az összes lehetséges utak halmazából kell egy
lehetséges pvÎPv
utat választania. A rendszer robusztussága, mérete és változó
szerkezete miatt elvárjuk, hogy egy protokoll segítségével az
útvonalak meghatározását decentralizált módon az autonóm rendszerek
maguk végezzék. A számítások egyszerűsítése érdekében pedig a
protokoll szerint a v csúcs a t-be vezető útvonalon
található, valamilyen szempont alapján választott szomszédjának
továbbítja a csomagot, amely ettől kezdve átveszi a csomag
továbbításának további feladatait, és maga választ következő
szomszédot. A protokollnak természetesen az idő, a kommunikáció és a
tár szempontjából erőforrás-hatékonynak kell lennie. A BGP − amely
kielégíti az interdomain routing protokollokkal szemben támasztott
felsorolt elvárásokat − a szomszédok egymás közötti információcseréje
révén határozza meg, és változás esetén frissíti a t-be vezető
útvonalakat. Kicsit pontosabban: a v csúcs egy szomszédtól
kapott információ alapján frissíti az útvonal táblázatát, amely akár
több t-be vezető útvonalat is tartalmazhat. Ezek után, ha v
a frissítéskor jobb útvonalat talált, akkor az erre vonatkozó
információt továbbítja a szomszédjainak. Az információcsere során
teljes útvonalinformációt továbbítanak egymásnak a csúcsok a
körmentesség biztosítása érdekében. A v csúcs egy csomag
továbbításakor valamilyen meghatározott szempont alapján választ egy
legjobb útvonalat a saját útvonaltáblázata alapján. Itt megjegyzendő,
hogy a minimális költségű útvonal egy lehetséges választási kritérium,
azonban a BGP több választási kritériumot is megenged (például
bizonytalannak tekintett országok elkerülése stb.). Természetes
követelmény, hogy a protokoll biztosítsa az útvonalak konvergenciáját,
azaz újabb csúcs belépése és kiesése esetén viszonylag hamar záruljon
le a szomszédok kommunikációján keresztül megvalósuló frissítési
folyamat. A BGP önmagában azonban még nem garantálja az útvonalak
konvergenciáját, de lehetővé teszi a lehetséges választási kritériumok
megszorításával.
Lixin Gao és Jennifer Rexford (2001) az autonóm
rendszerek között megkülönböztet fogyasztói-szolgáltatói és egyenrangú
(peer-to-peer) kapcsolatokat. A fogyasztó a forgalomért cserébe
pénzzel fizet a szolgáltatónak, míg az egyenrangú felek közötti
forgalom ingyenes. Gao és Rexford korlátozásai a következők:
1. A GCP fogyasztói-szolgáltatói irányított gráf
legyen irányított körmentes, ahol a GCP a G internetgráfból úgy
adódik, hogy kizárólag a fogyasztók és szolgáltatók közötti éleket
vesszük át, méghozzá fogyasztóktól szolgáltatókba mutató irányított
élekként. A feltevés közgazdasági szempontból elfogadható, hiszen egy
irányított kör esetén egy szolgáltató közvetetten önmaga fogyasztója
volna.
2. A választási kritérium részesítse előnyben a
fogyasztókat az egyenrangú felekkel, az egyenrangú feleket pedig a
szolgáltatókkal szemben. Ez utóbbi feltételt az a gazdasági
racionalitás indokolja, hogy a fogyasztók fizetnek a szolgáltatóknak
az adatok továbbításáért.
3. Az autonóm rendszerek nem végeznek
tranzitszolgáltatásokat egyenrangú feleknek és szolgáltatóknak, mivel
az ilyen típusú csomagközvetítés nem jár bevétellel.
A Gao–Rexford-kritériumok biztosítják a
BGP-protokoll konvergenciáját.
A BGP vázlatos ismertetése után térjünk vissza a
minimális összköltségű adatforgalom biztosításának kérdésére. Az 1.
ponttal ellentétben a c:V→R+ költségfüggvény a csúcsokhoz
rendel adattovábbítási költségeket, és már nemcsak két csúcs közötti
hatékony adatátvitelben vagyunk érdekeltek, hanem az internetgráf
egészét tekintve az összes csúcspár közötti összforgalom hatékony
lebonyolítását tűzzük ki célul. A probléma megoldását csak vázlatosan
ismertetjük, a részletek iránt érdeklődő olvasók figyelmébe Joan
Feigenbaum és munkatársai (2005, 2006), valamint − Jeffrey Shneidman
és David C. Parkes (2004) munkáit ajánljuk.
A BGP alapján az autonóm rendszerek (a továbbiakban
játékosok) maguk állítják elő a minimális költségű útvonalakat, a
szomszédokkal történő iteratív információcsere révén, amelyek
eredményeit táblázatokban tárolják. Előbb-utóbb az összes játékos
ismerni fogja az összes játékos kinyilvánított költségét, és
meghatározhatja csúcspáronként a minimális költségű útvonalakat. A
forgalomtovábbítással kapcsolatos követeléseiket és tartozásaikat
pedig időközönként egy banknak jelentik. Megjegyzendő, hogy az
interneten egy ilyenfajta bank bevezetése problematikusnak tűnhet,
hiszen mégiscsak egyfajta központi szervezet megjelenését tételezi
fel. Shneidman és Parkes (2004) eredményei alapján,
bonyolultságelméleti szempontból, ez nem jelent olyan nehézséget, mint
egy centralizált modell megvalósítása, amelyben a központ határozza
meg a kinyilvánított költségek alapján a minimális költségű
útvonalakat, és folyamatosan ellenőrzi a tényleges adatforgalmat.
Az interdomain routingban részt vevő játékosok
három szinten manipulálhatnak:
1. hamis költségeket adhatnak meg, azaz a vÎV
játékos a c(v) költségétől eltérő költséget közölhet szomszédjaival,
2. befolyásolhatják az internet társadalmi
összköltségfüggvényének meghatározását, mivel pl. a szomszédoktól
kapott információkat megmásítva is továbbíthatják, és
3. mint tranzitcsúcs, megmásíthatják a kapott
információt és annak mennyiségét.
Shneidman és Parkes (2004) egy VCG-alapú
mechanizmust alkalmaz az 1. manipulációs lehetőség meggátolására, míg
a 2. és 3. manipulációs lehetőségnek, többek között kriptográfiai
eszközökkel is, elejét lehet venni.
Feigenbaum és munkatársai (2006) a BGP egy
finomításával elérik, hogy egy úgynevezett ex-post Nash-egyensúlyban −
amely a domináns egyensúlynál valamivel erősebb, de a
Nash-egyensúlynál jóval gyengébb egyensúlyi koncepció − még autonóm
rendszerek koalícióinak összehangolt manipulációival szemben is
csalásbiztosan elérhető a társadalmi összköltségek minimalizálása,
ráadásul monetáris transzferek nélkül. Ehhez a Gao–Rexford-kritériumon
kívül lényegében még azt feltételezik, hogy bármely uÎV
csúcs és annak bármely vÎV
szomszédja esetében u-ból v-n átmenő útvonalaknál
egyezzen meg az u és v útvonal választása.
Az anarchia ára
Az interdomain routing modelljénél nem vettük figyelembe, hogy két
autonóm rendszer közötti összeköttetések mentén túlzsúfoltság léphet
fel, ha az adott összeköttetés sok küldemény minimális összköltségű
útvonalán helyezkedik el. Az előző két pont modelljei a lebonyolított
forgalomtól független élköltségekkel dolgoznak. A most ismertetésre
kerülő modellben, amelyet Tim Roughgarden és Tardos Éva (2002)
dolgozott ki, a G=(V, E) gráf eÎE
élének ce(x) költsége az x lebonyolított
forgalomtól függ. Nyilván e feltevéssel a mechanizmustervezési feladat
jóval nehezebbé válik. Roughgarden és Tardos (2002) munkájukban nem is
egy társadalmilag jó mechanizmust keresnek, hanem a hálózat önző
szereplőinek viselkedése révén kialakuló Nash-egyensúlyi megoldás és a
társadalmilag optimális megoldás közötti jóléti veszteséget határolják
be. Ez utóbbira vonatkozó mérőszám az anarchia ára (az elnevezést
Christos Papadimitriou (2001) vezette be), amely az optimális megoldás
és a játék legrosszabb egyensúlyi értékeinek hányadosa.
Adottak a gráfban egymástól különböző (si,ti)ni=1ÎV2n
feladó (forrás) és címzett (nyelő) párok, ahol az si
feladó a ti címzettnek ri
adatmennyiséget kíván eljuttatni a hálózaton keresztül. Jelölje Pi
az si feladótól a ti címzetthez
vezető útvonalak halmazát és P ezen útvonalak összességét, azaz
P=P1ÈP2È…ÈPn.
Feltesszük, hogy a feladók a címzetthez vezető útvonalakat maguk
határozzák meg, megengedve, hogy a küldeményüket több részre bontva
akár különböző útvonalakon keresztül is eljuttathassák a címzettig.
Tehát az útvonaltervezést a küldő végzi, azaz úgynevezett
source-routingról van szó. Megmutatható, hogy amennyiben a hálózat
összes autonóm rendszere minimális költségű útvonalakat jelöl ki,
akkor a tranzitcsúcsok maguk is a forrás által meghatározott útvonalak
mentén továbbítják a csomagot. Ilyen értelemben feltehető, hogy a
továbbiakban csak a feladókat tekintjük döntéshozóknak, azaz
játékosoknak. A hálózaton folyó adatáramlást folyamnak hívjuk. Az
f(e) érték megadja az e él mentén átáramló adatmennyiséget, amely
az összes si feladótól a ti címzetthez az e
élen áthaladó forgalmat figyelembe veszi. A költségek a feladóknál
jelentkeznek, és az si feladó költsége a küldéshez használt összes
útvonal mentén (emlékeztetőül: egy küldemény elosztható több útvonalra
is) felmerülő költségeinek összege, ahol egy útvonal költsége az
útvonalon található élek összköltsége szorozva az útvonal mentén
küldött adatmennyiséggel. Tehát az si játékos
stratégiahalmaza az ri adatmennyiség Pi
-beli útvonalakra való elosztása, és a hasznossága az útvonalak mentén
felmerülő költségek ellentettje. Egy folyam egyensúlyinak tekinthető,
ha egyik játékosnak sem érdemes egyoldalúan forgalmat
átcsoportosítania egyik útvonaláról egy másikra. Ezt az egyensúlyt az
irodalomban Wardrop-egyensúlynak is hívják, mivel a bemutatott
folyamirányítási modell közlekedési hálózatokra is alkalmazható,
amelyeket John Glen Wardrop (1952) vizsgált.
Az egyensúly létezése viszonylag általános
feltételek mellett biztosított, és ismert, hogy ugyanazon feltételek
mellett az összes egyensúlyi megoldás ugyanakkora összköltséggel jár.
Az optimális, azaz a minimális összköltségű megoldás egy nemlineáris
programozási feladat segítségével határozható meg. Roughgarden és
Tardos (2002) megmutatták, hogy affin, azaz ce(x)=ax+b
alakú költségfüggvények esetén az anarchia ára 4/3. Költségekről lévén
szó, ez azt jelenti, hogy az önérdekek követése a rendszerben akár
33%-os hatékonyságveszteséget is okozhat (de nem többet) a tökéletesen
koordinált megoldással szemben. Tim Roughgarden (2005) munkája további
költségfüggvényekre vonatkozó eredményeket is tartalmaz. Polinomok
esetében az anarchia ára növekvő a polinom fokában, méghozzá n/ln n
nagyságrendben, ahol n a polinom foka. Tehát az anarchia ára
tetszőlegesen naggyá válhat.
Roughgarden (2005) azzal a helyzettel is
foglalkozik, amikor a hálózaton központilag tervezett és önérdekkövető
forgalom egyidejűleg van jelen. Ekkor elképzelhető, hogy a központilag
tervezett forgalom segítségével csökkenthető az anarchia ára. Az
alkalmazott módszer a Stackelberg-routing, mely esetén párhuzamos
összeköttetések meglétekor a forgalom β hányadának központi
irányíthatósága mellett az anarchia ára 1/β val korlátozható felülről
a költségfüggvénytől függetlenül. E pozitív eredmény használhatóságát
korlátozza, hogy a központi tervező által alkalmazandó stratégia
meghatározása még lineáris költségfüggvények esetében is egy NP-nehéz
feladat, azaz jelenlegi számítástudományi ismereteink alapján, kis
méretű problémáktól eltekintve, az optimális Stackelberg-routing nem
határozható meg.
Záró gondolatok
Az algoritmusok elméletének a játékelmélettel történő összekapcsolása
viszonylag új. A jelen tanulmányban bemutatott irodalom Nisan és Ronen
(2001) úttörő munkájából nőtte ki magát. A terület azóta számtalan új
eredménnyel gazdagodott, és a jelenleg folyó kutatások spektruma
nehezen áttekinthető. A területet feldolgozó első könyv a közelmúltban
jelent meg (Nisan et al., 2007), amelynek egyes fejezeteit az
eredményeket elért vezető kutatók írták, elsősorban a területen
dolgozó szakemberek számára. Az első rövidebb bevezető jellegű könyv,
amely akár egyetemi hallgatói szinten is használható, német nyelven
jelent meg (Steimle, 2008). A terület előtt olyan kihívások állnak,
mint például a fájlcserélő rendszerek és a mobilhálózatok
specialitásainak játékelméleti modellezése.
Kulcsszavak: algoritmikus mechanizmustervezés, minimális költségű
útvonalak, elosztott mechanizmusok, internet modellezése
IRODALOM
Feigenbaum, Joan − Papadimitriou, C. −
Sami, R. − Shenker, S. (2005): A BGP-Based Mechanism for Lowest-cost
Routing. Distributed Computing. 18, 61–72.
Feigenbaum, Joan − Ramachandran, V. −
Schapira, M. (2006): Incentive-Compatible Interdomain Routing. In:
Proceedings of the 7th Conference on Electronic Commerce. ACM Press,
New York
Gao, Lixin − Rexford, Jennifer (2001):
Stable Internet Routing without Global Coordination. IEEE/ACM
Transactions on Networking. 9, 681–692.
Karger, David − Nikolova, Evdokia (2006):
VCG Overpayment in Random Graphs. In: Conference on Decision and
Control (CDC '06), San Diego, CA.
Mas-Colell, Andreu − Whinston, M.D. −
Green, J. R. (1995): Microeconomic Theory, Oxford Univ. Press
Nisan, Noam− Ronen, Amir (2001):
Algorithmic Mechanism Design. Games and Economic Behavior. 35,
197–211.
Nisan, Noam − Roughgarden, T. − Tardos E.
− Vazirani, V. (eds.) (2007): Algorithmic Game Theory, Cambridge
University Press, Cambridge
Papadimitriou, Christos (2001):
Algorithms, Games, and the Internet. In: Proceedings of the 33rd
Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC). 749–753.
Rónyai Lajos − Ivanyos G. − Szabó R.
(1999): Algoritmusok, TypoTex, Budapest
Roughgarden, Tim (2005): Selfish Routing
and the Price of Anarchy, MIT Press
Roughgarden, Tim − Tardos Éva (2002): How
Bad Is Selfish Routing? Journal of the ACM. 49, 236–259.
Shneidman, Jeffrey − Parkes, David C.
(2004): Specification Faithfulness in Networks with Rational Nodes.
In: Proceedings of the 23rd ACM Symposium on Principles of Distributed
Computing (PODC’04). 88–97.
Steimle, Jürgen (2008): Algorithmic
Mechanism Design, Springer-Verlag, Berlin−Heidelberg
Wardrop, John Glen (1952): Some
Theoretical Aspects of Road Traffic Research. Proceedings of the
Institute of Civil Engineers. II. 1, 325–378.
|
|